统计好三元组

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难度：⭐

题目描述：

给你一个整数数组 arr ，以及 a、b 、c 三个整数。请你统计其中好三元组的数量。

如果三元组 (arr[i], arr[j], arr[k]) 满足下列全部条件，则认为它是一个 好三元组 。

• 0 <= i < j < k < arr.length
• |arr[i] - arr[j]| <= a
• |arr[j] - arr[k]| <= b
• |arr[i] - arr[k]| <= c

其中 |x| 表示 x 的绝对值。

返回 好三元组的数量 。

示例1：

输入：arr = [3,0,1,1,9,7], a = 7, b = 2, c = 3
输出：4
解释：一共有 4 个好三元组：[(3,0,1), (3,0,1), (3,1,1), (0,1,1)] 。

示例2：

输入：arr = [1,1,2,2,3], a = 0, b = 0, c = 1
输出：0
解释：不存在满足所有条件的三元组。

提示：

• 3 <= arr.length <= 100
• 0 <= arr[i] <= 1000
• 0 <= a, b, c <= 1000

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解题过程：

思路：

暴力解法，三层for循环遍历，每层代表一个三元组中的元素。对每组(i,j,k)，判断arr[i]、arr[j]、arr[k]是否满足条件。

这种解法时间复杂度是$O(n^3)$，看题解有没有好方法吧。

c++代码：(执行用时64ms，击败14.93%，内存消耗8.6M，击败5.00%）

class Solution {
public:
    int countGoodTriplets(vector<int>& arr, int a, int b, int c) {
        //根据题目描述直接模拟即可
        int result=0;
        for(int i=0;i<arr.size()-2;++i){
            for(int j=i+1;j<arr.size()-1;++j){
                for(int k=j+1;k<arr.size();++k){
                    if(abs(arr[i]-arr[j])<=a && abs(arr[j]-arr[k])<=b && abs(arr[i]-arr[k])<=c){
                        ++result;
                     }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎官 方 题 解💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎💎

官方题解:

方法一：枚举
思路与算法

用 $O(n^3)$ 的循环依次枚举所有的 $(i, j, k)$，这里 $0 \leq i < j < k < {\rm arr.length}$，对于每组 (i, j, k)(i,j,k)，判断 ${\rm arr}[i]$、${\rm arr}[j]$、${\rm arr}[k]$是否满足条件。

最终统计出所有满足条件的三元组的数量。

c++代码：（执行56ms，击败38.19%，内存8.4M，击败9.00%）

class Solution {
public:
    int countGoodTriplets(vector<int>& arr, int a, int b, int c) {
        int n = arr.size(), cnt = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
                for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
                    if (abs(arr[i] - arr[j]) <= a && abs(arr[j] - arr[k]) <= b && abs(arr[i] - arr[k]) <= c) {
                        ++cnt;
                    }
                }
            }
        }
        return cnt;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^3)$，其中 $n$是数组 $\textit{arr}$ 的长度。
• 空间复杂度：$O(1)$。

方法二：枚举优化

思路与算法

我们考虑 $O(n^2)$ 枚举满足 $|\rm arr[j]-\rm arr[k]|\le b∣$ 的二元组 $(j,k)$，统计这个二元组下有多少 $i$ 满足条件。由题目已知 $i$ 的限制条件为 $|\rm arr[i]-\rm arr[j]|\le a \ \&\&\ |\rm arr[i]-\rm arr[k]|\le c∣$，我们可以拆开绝对值，得到符合条件的值一定是 $[\rm arr[j]-a,\rm arr[j]+a]$ 和 $[\rm arr[k]-c,\rm arr[k]+c]$ 两个区间的交集，我们记为 $[l,r]$。因此，在枚举 $(j,k)$这个二元组的时候，我们只需要快速统计出满足 $i<j$ 且 $\rm arr[i]$的值域范围在 $[l,r]$ 的 $i$ 的个数即可。

很容易想到维护一个 $\rm arr[i]$频次数组的前缀和 $\rm sum$，对于一个二元组 $(j,k)$，我们可以 $O(1)$ 得到答案为 $\rm sum[r]-\rm sum[l-1]$。考虑怎么维护保证当前频次数组存的数的下标符合 $i<j$ 的限制，我们只要从小到大枚举 $j$，每次 $j$移动指针加一的时候，将 $\rm arr[j]$的值更新到 $\rm sum$数组中即可，这样能保证枚举到 $j$的时候 $\rm sum$数组里存的值的下标满足限制。

「将 $\rm arr[j]$ 的值更新到 $\rm sum$数组中」这个操作在本方法中是暴力更新，因为数组的值域上限很小，有能力的读者可以考虑怎么在进一步优化这一部分的复杂度，可以从离散化或者树状数组的角度考虑，这里不再赘述。

c++代码：（执行24ms，击败97.15%，内存9M，击败5.00%）

class Solution {
public:
    int countGoodTriplets(vector<int>& arr, int a, int b, int c) {
        int ans = 0, n = arr.size();
        vector<int> sum(1001, 0);
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            for (int k = j + 1; k < n; ++k) {
                if (abs(arr[j] - arr[k]) <= b) {
                    int lj = arr[j] - a, rj = arr[j] + a;
                    int lk = arr[k] - c, rk = arr[k] + c;
                    int l = max(0, max(lj, lk)), r = min(1000, min(rj, rk));
                    if (l <= r) {
                        if (l == 0) {
                            ans += sum[r];
                        }
                        else {
                            ans += sum[r] - sum[l - 1];
                        }
                    }
                }
            }
            for (int k = arr[j]; k <= 1000; ++k) {
                ++sum[k];
            }
        }
        return ans;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n^2+nS)$，其中$n$ 是数组 $\textit{arr}$的长度，$S$为数组的值域上限，这里为 $1000$。

空间复杂度：$O(S)$。我们需要 $O(S)$ 的空间维护 $\rm arr[i]$频次数组的前缀和。

⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳总 结⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳⏳

总结：

基本上简单题都可以通过暴力解出来，看来是真的😄，官方题解提供了另一种优化的枚举解法，可以学习一波。