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Arnold变换

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Arnold变换又称之为猫脸变换，利用Arnold变换（又称猫脸变换）可以对图像进行置乱。

Arnold变换使得原本有意义的图像变成一张无意义的图像，该变换可以在其它图像处理前对图像做预处理，例如在数字盲水印嵌入前对水印进行置乱。也可以用于普通的图像加密。对于不同的数字图像，加密者都可以用相应的离散化Arnold矩阵进行变换，图像的位置变换实际上是对应点的灰度值或者RGB颜色值的移动，即将原来点（x,y）处的值对应的灰度值移动至变换后的位置处，起到置乱的作用。Arnold变换不仅可以用于图像置乱，也可以用于其它数据的置乱和加密，变换公式如下：

其中mod是取模运算，N是正方形图像的边长，（ x’ , y’ ）是像素点（ x , y ）变换后的坐标。

当图像是一张方形的图像时，Arnold变换存在逆变换，经过N次Arnold变换后的数据可以通过N次逆变换恢复数据，逆变换公式如下：

通常一次Arnold变换达不到理想效果，需要对图像进行连续多次的变换。Arnold变换具有周期性，即对图像连续进行Arnold变换，最终又能得到原图像。变换的周期和图像的尺寸有关，统计如下表：

表1-1 Arnold变换周期

边长N 2 4 8 16 32 64 128 246 512 1024
周期T 3 3 6 12 24 48 96 192 384 768

变换周期计算代码

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd

'''
功能：计算Arnold变换周期,默认为狭义Arnold变换
参数：
N--正方形图像宽的像素数
Arnold变换矩阵参数，a、b、c、d
'''

def Arnold_period(N,a=1,b=1,c=1,d=2):
  #计算(posx,posy)位置Arnold变换的周期(与整个图像Arnold周期应该一致，待证)
  posx=0
  posy=1
  #变换的初始位置
  x0=posx
  y0=posy
  T=0
  while True:
    x=(a*x0+b*y0)%N
    y=(c*x0+d*y0)%N
    #x0，y0同时更新
    x0,y0=x,y
    T+=1
    if(x==posx and y==posy):
      break
  return T

def main():
  N=[]
  T=[]
  for i in range(1,11):
    N.append(2**i)
    T.append(Arnold_period(2**i,1,1,1,2))
  plt.axis('off')
  #绘制表格展示结果
  data=dict()
  data['N']=N
  data['T']=T
  print(data)
  df=pd.DataFrame(data)
  plt.table(cellText=df.values,colLabels=df.columns,bbox=[0,0,1,1],loc='center')
  plt.show()


if __name__== '__main__':
  main()
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